Его героическая внешность сбивала с толку — в душе он был ребенком, который нуждается в заботе и защите. Ходил в пальто и без шапки зимой, когда стояли морозы.
Фантастически ранимый человек. Ему казалось, что его недолюбливают, относятся с предубеждением. Он был в постоянном конфликте с собой, такой трепетный, пульсирующий, как перо на ветру. Дунешь, и оно взлетает в воздух. Юра так нуждался в комплиментах, аплодисментах и восторгах! Расстраивался от того, что по телевизору идет картина «Два капитана», а на улице его не узнают. Однажды простоял в очереди полтора часа неузнанным. Человек без кожи, он очень обижался на критику. Мгновение — и его глаза наливались слезами, а пухлые губы дрожали от обиды, как у большого ребенка...
Его очень ценила Ия Саввина. Они подружились на съемках фильма «Открытая книга». Ия Сергеевна была остра на язык, к ней трудно было подъехать, а с Юрой они прекрасно сошлись. Были родственными душами — вместе выходили на сцену МХАТа, даже родились в один день.
Саввина рассказывала о нем в одной передаче: «Юра работал с такой отдачей, что ему за спектакль несколько раз меняли рубашки». Она его, между прочим, отговорила от вегетарианства, за это Богатырев потом ее всю жизнь укорял.
Юра и ей все время звонил. Муж Саввиной как-то пошутил: «Да это гастрольный муж Ии». Они действительно не расставались: у нее в номере смотрели телевизор, вместе завтракали, обедали и ужинали.
Юра водил меня к Саввиной в гости. От бедности я научилась шить и делала все очень аккуратно. На эти заработки мы с Варей, собственно, и жили. Ия Сергеевна, узнав, что хорошо шью, попросила сшить ей два костюма: «Только я не люблю примерок!» Я принесла ей готовые костюмы, те оказались впору. Она была довольна...
Юра был бессребреником, не копил денег на черный день, мог легко отдать последний рубль. Периодически у него водились деньги, он неплохо зарабатывал на фильмах. У Богатырева очень много одалживали и не всегда отдавали. Я знаю это совершенно точно. Его товарищ, когда Юра умер, показал записную книжку, где тот записывал, кому одолжил деньги, и вычеркивал тех, кто ему долг отдал. «Видишь, — сказал его друг, — сколько Юрке остались должны? Отдадут, не отдадут — неизвестно».
