Родился в Москве в семье Андрея Николаевича и Антонины Сергеевны Вознесенских. Отец был инженером-гидротехником, доктором технических наук, профессором, директором Гидропроекта, Института водных проблем АН СССР, участником строительства Братской и Ингурской гидроэлектростанций.
Несколько лет в детстве жил в городе Киржаче Владимирской области, откуда родом была мать. Во время войны уехал с матерью в эвакуацию в город Курган, там же пошел в школу. Окончил школу уже в Москве, куда вернулся после эвакуации.
Стихи начал писать довольно рано. Любил также рисовать. В 14 лет отправил знаменитому поэту Борису Пастернаку по почте свои стихи. Тот ответил и пригласил в гости. С тех пор их встречи и беседы о поэзии стали регулярными. Эта дружба продолжалась до последних дней Пастернака.
В 1952 году поступил в Московский архитектурный институт, который окончил в 1957 году, получив специальность архитектора.
Первые стихи опубликовал в 1958 году. В 1959 году сочинил поэму «Мастера» - и стал известным.
В начале 1960-х принимал участие в поэтических вечерах в Политехническом музее.
В 1960 году выпустил первые сборники стихов.
Цикл «Антимиры», написанный в 1964 году, был поставлен в виде сцен и песен Театром драмы и комедии на Таганке. Там же был поставлен спектакль «Берегите ваши лица», который сняли сразу после премьеры.
В 1979 году участвовал в выпуске альманаха «Метрополь».
В 1981 году композитор Алексей Рыбников сочинил на стихи Вознесенского рок-оперу «Юнона и Авось», которая с большим успехом была поставлена в Московском театре имени Ленинского комсомола.
Был архитектором монумента «Дружба навеки» в честь двухсотлетия присоединения Грузии к России, который торжественно открыли в 1983 году на Тишинской площади в Москве.
Написал поэмы: «Мастера», «Лонжюмо», «Оза», «Авось», «Вечное мясо», «Андрей Полисадов», «Ров», «Россия воскресе».
Выпустил книги стихов и прозы: «Мозаика» (1960), «Парабола» (1960), «Треугольная груша» (1962), «Антимиры» (1964), «Мой любовный дневник» (1965), «Ахиллесово сердце» (1966), «Тень звука» (1970), «Взгляд» (1972), «Выпусти птицу» (1974), «Дубовый лист виолончельный» (1975), «Витражных дел мастер» (1976), «Соблазн» (1978), «Избранная лирика» (1979), «Безотчетное» (1981), «Иверский свет» (1984), «Прорабы духа» (1984), «Ров. Стихи и проза» (1987), «10, 9, 8, 7…» (1987), «Аксиома самоиска» (1990), «Россія, Poesia» (1991), «Видеомы» (1992), «Гадание по книге» (1994), «Не отрекусь» (1996), «Casino «Россия» (1997), «На виртуальном ветру» (1998), «Страдивари сострадания» (1999), «Стихи. Поэмы. Переводы. Эссе» (1999), «Жуткий кризис «Суперстар» (1999), «Стихотворения. Поэмы. Проза» (2000), «Девочка с пирсингом» (2000), «Лирика» (2000), «Моя Россия» (2001), «Лирика» (2003), «Избранное» (2003), «Возвратитесь в цветы!» (2004), «Избранное» (2006), «Стихотворения» (2006), «СтиXXI» (2006), «Тьмать» (2009), «Ямбы и блямбы» (2010).
К поэзии Вознесенского часто обращались композиторы, такие как: Арно Бабаджанян, Оскар Фельцман, Раймонд Паулс, Микаэл Таривердиев, Евгений Мартынов, Алексей Рыбников, Владимир Мигуля, Игорь Николаев, Александр Градский, Сергей Никитин, Стас Намин и др.
Был автором стихов песен: «Миллион алых роз», «Верни мне музыку», «Танец на барабане», «Затмение сердца», «Летайте самолетами Аэрофлота», «Год любви», «Два стрижа» «Москва-река», «Не исчезай», «Полюбите пианиста», «Ностальгия по настоящему», «Я вам спою», «Плачет девочка в автомате», «Начни сначала», «Подберу музыку», «Пушинка белая», «Разлука», «Вальс при свечах», «Я - Гойя», «Тишины хочу», «Человек-магнитофон», «Ты меня не оставляй», «Человек породы Сенбернар», «Я тебя никогда не забуду» и др.
Последние годы работал в жанре визуальной поэзии: демонстрировал видеомы. Провел ряд выставок видеом в Музее изобразительных искусств имени Пушкина в Москве, а также Париже, Нью-Йорке и Берлине.
Писал эссе и статьи по вопросам литературы и искусства, занимался переводами.
Был почетным членом десяти академий мира, в том числе Российской академии образования, Американской академии литературы и искусства, Баварской академии искусств, Парижской академии братьев Гонкур, Европейской академии поэзии и др.
В 2006 году перенес первый инсульт, после которого начались проблемы с ногами, одна рука была практически парализована. Через четыре года случился второй инсульт, в результате которого произошла потеря голоса. Весной 2010 года лечился в одной из клиник Мюнхена. В мае вернулся в Москву. В первый день лета на своей даче в Переделкине перенес третий инсульт. Жена вызвала «скорую помощь», но когда приехали врачи, было уже слишком поздно.
Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Годы жизни: 12.05.1933 — 01.06.2010
Супруга – Зоя Богуславская, писательница (поженились в 1964 году)
▪ Премия Международного форума поэтов (1978)
▪ Государственная премия СССР (1978)
▪ Орден Трудового Красного Знамени (1983)
▪ Золотой Почетный знак «Общественное признание» (2003)
▪ Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (2004)
▪ Орден «За заслуги перед Отечеством» II степени (2008)
▪ Премия Правительства РФ (2010, посмертно)