Борис Дергачев родился 13 апреля 1991 года в Саратове.
В детстве мальчик увлекался музыкой и вокалом, пел в хоре, поэтому выбор учебного заведения после окончания школы был несложным — Саратовская консерватория им. Собинова.
Поступил в Саратовский театральный институт на курс Игоря Михайловича Баголея и даже успел поработать в местном театре драмы. Далее перевелся в один из самых популярных театральных институтов Москвы, ГИТИС, который он успешно окончил в 2012 году.
Получив диплом стал работать в Московском драматическом театре им. К.С. Станиславского.
В 2011 по 2015 год актер снимался в отечественных сериалах среди которых стали «Озабоченные, или Любовь зла», «Деффчонки».
В 2016 году Дергачев получил первую главную роль подкаблучника Паши в комедии Романа Каримова «Гуляй, Вася!».
В 2017-2017 году играл нефтяника Мишу в сериале «Ольга».
В 2017 году актера можно было увидеть в драме Бориса Хлебникова «Аритмия».
В 2017 году Борис снялся в главной роли в романтической комедии Ильи Аксенова «На край света».
В 2018 году вышел сериал «Команда "Б"» о группе недотёп, Дергачев сыграл одного из членов этой команды, врача-неудачника Стаса Мусатова.
В 2018 году вышел проект «Фитнес» о девушке Асе.