Юрий Куценко родился 20 мая 1967 года в украинском городе Запорожье. Отец — Георгий Павлович, работал в министерстве радиопромышленности. Мать — Светлана Васильевна, врач-рентгенолог (умерла в ноябре 2011 года). Был назван в честь Юрия Гагарина.
Из Запорожья семья переехал во Львов. Учась в школе, будущий актер занимался вольной борьбой в спортивной секции. После ее окончания Куценко поступил в Львовский политехнический институт, однако, не доучившись, он был призван в армию на два года.
Во время прохождения службы его отца назначили заместителем министра радиопромышленности СССР, и семья перебралась в Москву. Демобилизовавшись, Куценко поступил в Московский Институт Радиотехники, Электроники и Автоматики. Отучившись в нем два года, Гоша бросил институт и решил против воли отца поступил в Школу-студию МХАТ на курс И. М. Тарханова, которую он окончил в 1992 году.
В 1991 году, еще будучи студентом, Куценко сыграл первый эпизод в фильме «Человек из команды «Альфа».
После вуза Гоша долго искал достойную работу. Не устроившись ни в один театр, он занимался поисками даже самых незначительных ролей в антрепризных спектаклях и в кино. В это время Куценко сыграл эпизоды в картинах: «Дети чугунных богов», «Сны», «Ноктюрн для барабана и мотоцикла», «Серп и молот», «Восемь с половиной долларов» и др. Из фильмов этого времени запомнилась его роль в картине «Мама, не горюй!».
Из-за невостребованности в актерской профессии Гоша пытался работать и на телевидении. В середине 1990-х он вел передачу «Партийная зона» на канале «ТВ-6», а также был ведущим на МУЗ-ТВ.
С 1996 по 2000 год Куценко преподавал во ВГИКе на курсе Е.А. Киндинова.
В 2002 году в актерской карьере Гоши произошел прорыв. Благодаря роли Лиса в боевике Егора Кончаловского «Антикиллер» к актеру пришла известность.
Актерская популярность способствовала также и его театральной карьере. Гоша участвовал в целом ряде успешных антрепризных проектов: мюзикл «Метро», «Чапаев и пустота», «Ladies’ Night. Только для женщин» и других постановках.
В 2004 году появился музыкальный тандем «Гоша Куценко & Anatomy of Soul», просуществовавший четыре года. Некоторые из песен того периода вошли в саундтреки фильмов «Марс», «Четвертое желание», «Все могут короли», «Дикари». Также он был Был солистом рок-группы «Баранина-97». В 2010 году Гоша выпустил альбом «Май Ворлд».
В 2011 году Куценко учредил собственный фонд «Шаг вместе». Также Гоша активно участвует в благотворительных акциях других фондов, в частности, фонда Чулпан Хаматовой «Подари жизнь». Актер является председателем попечительского совета Некоммерческого фонда «Центр лечения и реабилитации больных детским церебральным параличом».
Осенью 2012 года актер женился на фотомодели Ирине Скриниченко. 23 июня 2014 году у супругов родилась дочь Евгения. Этот ребенок стал для Гоши вторым. У него уже есть дочка Полина (1996) от первой супруги актрисы Марии Порошиной.
Гоша Куценко сыграл более 50 ролей в фильмах и сериалах, среди которых: «В движении» (2002), «Спецназ» (2002), «Криминальное танго» (2003), «Киднеппинг» (2003), «Антикиллер 2: Антитеррор» (2003), «Ночной дозор» (2004), «Марс» (2004), «Убойная сила-6: «Мыс Доброй надежды»» (2005), «Охота на изюбря» (2005), «Есенин» (2005), «Гарпастум» (2005), «Гибель империи» (2005), «Турецкий гамбит» (2005), «От 180 и выше» (2005), «Последний уик-энд» (2005), «Мама, не горюй 2» (2005), «Дневной дозор» (2005), «Дикари» (2006), «Жесть» (2006), «Сдвиг» (2006), «Любовь-морковь» (2007), «Параграф 78» (2007), «Параграф 78. Фильм второй» (2007), «Глянец» (2007), «Все могут короли» (2008), «Индиго» (2008), «Тринадцать месяцев» (2008), «Любовь-морковь 2» (2008), «Обитаемый остров» (2009), «Подарок» (2009), «Антикиллер Д.К: "Любовь без памяти"» (2009), «Обитаемый остров. Схватка» (2009), «Книга мастеров» (2009), «Рывок» (2010), «Бриллиантовая рука-2» (2010), «Ирония любви» (2010), «Компенсация» (2010), «Любовь-морковь 3» (2011), «Сказка. Есть» (2011), «Псевдоним для героя» (2011), «Гастроли» (2011), «Фантом» (2011), «Манипулятор» (2011), «Упражнения в прекрасном» (2011), «Ёлки 2» (2011), «Мой парень » (2011), «Самоубийцы» (2012), «Август. Восьмого» (2012), «Тот ещё Карлосон!» (2012), «Мамы » (2012), «Со мною вот что происходит» (2012), «Джентльмены, удачи!» (2012), «Разговор» (2013), «Курьер из «Рая»» (2013), «Сокровища О.К.» (2013), «Возвращение Буратино» (2013), «Елки 3» (2013), «Игра в правду» (2013), «Залетчики» (2014), «Нереальная любовь» (2014), «Неформат» (2014), «+100500» (2014), «Занимательная этология» (2014), «Звезда» (2014), «Гороскоп на удачу» (выйдет в 2015), «Глубина» (2015) и др.
Гражданский брак — Мария Порошина, актриса
Супруга — Ирина Скриниченко, фотомодель
Дочь — Полина (22.02.1996), от брака Марией Порошиной
Дочь — Евгения (23.06.2014), от Ирины Скриниченко
▪ Приз имени Г. Горина на кинофестивале «Кинотавр» в номинации «Лучший сценарий» (совместно с Виктором Шамировым и Константином Юшкевичем) за фильм «Упражнения в прекрасном» (2011)