Андрей Бурковский родился 14 ноября 1983 года в Томске. Отец — Владимир, предприниматель. Мать — Людмила, хозяйка ресторанов. Брат — Александр (погиб 8 января 2009 года в возрасте 23-х лет — разбился на горнолыжном курорте в Шерегеше).
Во время учебы в Академическом лицее парень начал играть в КВН, выступая за школьную команду «Осколки звезд».
В 2002 году Андрей поступил Томский государственный университет, где его сразу пригласили в образованную молодую команду КВН «МаксимуМ», которая впоследствии дебютировала в Премьер-лиге КВН и завоевала огромное количество престижных наград.
В 2009 году Бурковский вместе вместе с партнёром по команде с Михаилом Бакшатовым стали сниматься в скетч-коме «ДаЁшь молодЁжь!», который принес им огромную популярность.
В 2010 году юморист поступил в Школу-студию МХАТ на курс И. Я. Золотовицкого и С. И. Земцова, который окончил в 2014-м. Дипломными спектаклями были «Гогольревизор», «На дне», «MP3. Равель» и «Лестница в небо».
В 2013 году Бурковский дебютировал в кино, сыграв роль официанта ресторана Ильи Владимировича в сериале «Кухня».
В 2014, еще будучи студентом Школы-студии, актер был принят в труппу МХТ имени А. П. Чехова, где сыграл в спектаклях: «№ 13D», «Примадонны», «Пиквикский клуб», «Идеальный муж. Комедия», «Мастер и Маргарита» и «Свадьба Кречинского».
В 2016 году Бурковский был ведущим передачи «Не факт» на телеканале «Звезда».
В 2019 году юморист сыграл главную роль в приключенческой комедии режиссера Резо Гигинеишвили «Трезвый водитель».
В 2020 году Андрей Бурковский снялся в трех проектах: «Смертельные иллюзии», «За час до рассвета» и «Красотка!».
Супруга — Жена — Ольга Бурковская (поженились 29 августа 2008 года)
Сын — Максим (род. 14 марта 2011 года)
Дочь — Алиса (род. 5 июня 2013 года)
В составе команды КВН «МаксимуМ»:
Чемпион Высшей лиги КВН 2008
Чемпион Премьер-лиги КВН 2004
Чемпион Премьер-лиги КВН 2005
Обладатель наград музыкального фестиваля «Голосящий КиВиН»:
«Большой КиВиН в золотом» на фестивале «Голосящий КиВиН 2008»
«Большой КиВиН в светлом» на фестивале «Голосящий КиВиН 2009»
«Малый КиВиН в светлом» на фестивале «Голосящий КиВиН 2007»
«Малый КиВиН в тёмном» на фестивале «Голосящий КиВиН 2005»
«Малый КиВиН в тёмном» на фестивале «Голосящий КиВиН 2006»
Обладатель Гран-при фестиваля «Юморина» (Томск) 2003
Обладатель Гран-при фестиваля «Юморина» (Томск) 2004
Обладатель Кубка г. Красноярска 2003
Обладатель Кубка губернатора Новосибирской области 2005
Обладатель Кубка г. Красноярска 2005
В составе команды КВН «Ударная волна»:
Чемпион лиги КВН «КВН-Азия» 2003
Чемпион лиги КВН «Балтика» 2004
Обладатель Гран-при Кубка чемпионов лиг КВН 2005
В составе театра миниатюр «Бонифас»:
Обладатель Гран-при фестиваля «Юморина» (Томск) 2001
Обладатель Гран-при фестиваля «Юморина» (Томск) 2002