Родился в Москве в семье рабочих Дмитрия Семеновича и Валентины Ивановны Куклачевых. С детства мечтал стать клоуном. После 8-го класса пошел в ПТУ № 3, а по вечерам занимался в народном цирке при Доме культуры «Красный Октябрь». Семь лет безуспешно пытался поступить в цирковое училище.
Впервые выступил в 1967 году на Всесоюзном смотре художественной самодеятельности и был удостоен звания лауреата. После заключительного концерта лауреатов в Цирке на Цветном бульваре был приглашен в Московское государственное училище циркового и эстрадного искусства.
В 1971 году окончил цирковое училище и стал артистом «Союзгосцирка».
В 1976 году появился на арене цирка с номером, в котором выступала домашняя кошка.
Позднее окончил ГИТИС по специальности «театральный критик».
Снимался в фильмах: «Кот и клоун» (1984), «Выше радуги» (1986), «Микко из Тампере просит совета» (1986).
Создал программы «Кошки и клоуны», «Город и мир», с которыми гастролировал во многих странах мира.
В 1990 году организовал частный детский Театр кошек в помещении бывшего кинотеатра «Призыв» на Кутузовском проспекте в Москве. В 1991-1993 годах при театре работала школа клоунов. Тесно сотрудничал с кинорежиссером Георгием Юнгвальд-Хилькевичем, совместно с которым подготовил восемь спектаклей: «Похитители кошек», «Принц Щелкунчик и Крысиный король», «Кошки-клоуны и любовь», «Кот в сапогах», «Кошки из Вселенной», «Мои любимые кошки», «Лебединое озеро», «Школа доброты».
В 2001 году за создание театра Юрию Куклачеву было присвоено звание академика естественных наук.
В 2005 году Театр кошек получил статус государственного учреждения культуры города Москвы. На каждое представление театра приглашают детей из детских домов и интернатов, есть льготные билеты для инвалидов и ветеранов.
Выпустил книги: «Школа доброты», «Уроки доброты», «Друзья мои кошки», «Килька, Стрелка, Ромашка и клоун Юрашка», «Кошки в Париже», «Самый обычный сундучок», «Кошкин дом».
В 2011 году удостоен звания почетного профессора Московского государственного университета культуры и искусств.
В 2012 году стал почетным профессором Белорусского государственного университета культуры и искусств.

Звания

▪ Заслуженный артист РСФСР (1977)
▪ Народный артист РСФСР (1979)

Награды

▪ Премия «Золотая корона клоунов» (1976)
▪ Премия Ленинского комсомола (1978)
▪ Премия «Золотой Оскар» (1981)
▪ Приз «Серебряный клоун» на Всемирном конкурсе артистов цирка в Монте-Карло (1986)
▪ Орден Дружбы (1995)
▪ Орден «Надежда нации» (2001)

Семья

Супруга – Елена Исааковна, актриса (работает в Театре кошек)
Сын – Дмитрий (05.08.1975), клоун, дрессировщик, руководитель Театра кошек.
Дочь – Екатерина (18.11.1980), главный художник Театра кошек.
Сын – Владимир (07.04.1983), танцовщик
Внук (сын Дмитрия) – Никита (2002)
Внучка (дочка Екатерины) – Настя (2005)