Сергей Бурунов родился 6 марта 1977 года в Москве. Отец — Александр Анатольевич, электротехник. Мама Татьяна Викторовна, медсестра (ушла из жизни в 2010 году). Старший брат — Олег, переводчик.
Семья Буруновых жила недалеко от аэропорта Домодедово, поэтому Сергея с детства интересовало все, что связано с самолетами. Они вместе с отцом ездили на показательные выступления летчиков-асов в Тушино и в Кубинку. В старших классах школы занимался как пилот-любитель во 2-ом Московском аэроклубе имени Талалихина и к 1993 году, в возрасте 16 лет, окончил курс «Летная эксплуатация учебно-тренировочного самолета Як-52».
После окончания общеобразовательной школы в 1994 году Сергей уехал в Волгоград и поступил в Качинское высшее военное авиационное училище летчиков имени Мясникова. Уже в училище понял, что перспектива стать военным летчиком его перестала вдохновлять, зато появился интерес к сцене — вместе с друзьями участвовал в КВН, в том числе успешно выступал в межвузовских конкурсах. В результате к концу второго курса нахватал двоек и был отчислен из училища.
В 1997 году после возвращения в Москву предпринял будущий актер безуспешную попытку поступить в театральный вуз, после чего поступил на эстрадное отделение Государственного училища циркового и эстрадного искусства, куда был принят сразу на второй курс. Отучившись год, снова подал документы в Щукинское училище и снова провалился. Сергей обратился к художественному руководителю курса Марине Александровне Пантелеевой, и она предложила ему идти на платное обучение. С согласия и при поддержке отца он стал студентом Высшего театрального училища имени Щукина, которое окончил в 2002 году. Уже в училище проявилась его склонность к наблюдению за характерными особенностями поведения людей и умение пародировать.
После получения диплома Бурунов сначала оказался без работы, немного поработал ведущим на радиостанции, а затем пошел к Александру Ширвиндту и после показа был зачислен в труппу Театра Сатиры, в котором проработал до 2006 года. Играл в основном небольшие роли в старых спектаклях. Среди постановок с его участием — «Швейк», «Слишком женатый таксист», «Яблочный вор» и другие. После ухода из Театра сатиры некоторое время сотрудничал с коллективом Театр.doc, где играл в спектакле «Синий Слесарь», а также участвовал в антрепризной постановке «Проявления любви» («Другой театр»).
Сергей Бурунов дебютировал в кино в 2002 году, сыграв эпизодическую роль в сериале «Кодекс чести». После этого неоднократно появлялся на экране, как правило, в ролях второго плана. Одной из самых первых запоминающихся работ на экране стала роль политрука в военной драме «Эшелон» (2005). Хотя в его творческом активе не так много главных ролей (как, например, в сериалах «Отблески» и «Без права на ошибку»), артист постепенно завоевал себе репутацию крепкого мастера эпизода и является, особенно в последнее время, весьма востребованным актером.
Всего сыграл более 50 ролей в фильмах и сериалах, среди которых «Остров» (реж. П. Лунгин, 2006), «Погоня за ангелом» (реж. О. Субботина, 2006), «Эксперты» (реж. А. Селиванов, 2007), «Служба доверия» (реж. Е. Николаева, 2007), «Галина» (реж. В. Павлов, 2008), «Ермоловы» (2008), «Знахарь» (реж. В. Никифоров, 2008), «ЛОпуХИ: Эпизод первый» (реж. С. Андреасян, 2009), «Десантура» (2009), «Ласковый май» (реж. В. Виноградов, 2009), «На игре» (реж. П. Санаев, 2009), «Дикий» (реж. В. Шмелев и А. Мазунов, 2009), «Утомленные солнцем 2: Предстояние» (реж. Н. Михалков, 2010), «Зайцев, жги! История шоумена» (реж. А. Барщевский, 2010), «Сыщик Самоваров» (реж. А. Кирющенко, 2010), «О чем еще говорят мужчины» (реж. Д. Дьяченко, 2011), «Сказка. Есть» (2011), «Zолушка» (реж. С. Иванов, 2012), «Кухня» (реж. Д. Дьяченко, 2012-2013) и другие.
Является одним из самых известных актеров дубляжа. Впервые выступил в этом качестве в 2003 году в фильмах «Как отделаться от парня за 10 дней», «Ограбление по-итальянски», «Двойной форсаж», «Трудности перевода» и других. Сегодня на его счету более 200 дублированных картин. Его голосом в отечественном прокате говорят Джонни Депп, Адам Сэндлер, Юэн Макгрегор, Джерард Батлер, Тим Рот, Дэнни Де Вито и многие другие звезды.
Начиная с 2004 года, после дубляжа фильма «Авиатор», дублирует почти все фильмы с участием Леонардо Ди Каприо — «Кровавый алмаз», «Совокупность лжи», «Дорога перемен», «Остров проклятых», «Начало», «Дж. Эдгар», «Джанго освобожденный» и «Великий Гэтсби». Кроме дубляжа фильмов, занимается также озвучанием мультфильмов («Приключения Ролли 3D», «Гадкий я 2» и т.д.) и компьютерных игр («SWAT 4», «Dreamfall: The Longest Journey», «Ведьмак» и других).
Еще одной серьезной работой в области озвучки стало переозвучивание первого сезона сериала «Журов» и озвучивание последних киноработ Андрея Панина, трагически погибшего в марте 2013 года.
С 2006 по 2008 год был голосом канала МТРК «Мир» и диктором анонсов Радио России.
Широкую известность и любовь зрителей завоевал после участия в телевизионном проекте Первого канала «Большая разница», в который он попал после успешного прохождения кастинга в 2007 году. Снимается в проекте, начиная с самого первого выпуска в январе 2008 года и до сегодняшнего дня. В рамках программы он спародировал большое количество знаменитостей российского и иностранного шоу-бизнеса, среди которых Филипп Киркоров, Вячеслав Бутусов, Леонид Парфенов, Брюс Уиллис многие другие.
В 2013 году Сергей Бурунов в качестве наставника звезд участвовал в пародийном проекте Первого канала «Повтори!».
В 2014 году снялся сразу в нескольких проектах: сериалах «Лада» (реж. А. Кирющенко, 2014), «Неформат» (реж. А. Федотов, 2014) и в фильме «Сердце врага» (реж. А. Высоковский, 2014).
В период с 2014 по 2015 год участвовал в пародийной программе «Супергерои», транслировавшейся на телеканале «Пятница!».
В 2021 году стал ведущим восьмого сезона русской версии игры «Форт Боярд» на СТС, используя творческий псевдоним «Серж Бурунов».
В 2023 году вел шоу «ОКнутые люди» в соцсети «Одноклассники».
В 2024 году вернулся к проведению шоу пародий «Большая разница» на «Первом канале», однако провел лишь один выпуск.
В 2025 году Сергей Бурунов сыграл одну из главных ролей в новом кинопроекте «Алиса в стране чудес», где также снялись Анна Пересильд, Милош Бикович, Паулина Андреева, Ирина Горбачева и др.